De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Vereenvoudigen van goniometrische uitdrukkingen

Nadat ik het boek over de Riemann-Hypothese heb gelezen ben ik heel geïnteresseerd in oneindige reeksen en hun uitkomsten; Nadat ik een paar berekeningen heb gemaakt met de functie f(n)= $\sum $ ^{$\infty $} _k=1^kn/_k! ontdekte ik een eigenaardige reeks van getallen (die allemaal veelvouden van e waren!): 1e, 2e, 5e, 15e, 52e, ... Ik heb eigenlijk 2 vragen: Hoe komt het dat het veelvouden van e zijn en is er een functie die dit kan benaderen?

Alvast bedankt voor uw antwoord!

Antwoord

Dat $\mathrm{e}$ tevoorschijn komt is geen grote verrassing als je de reeks voor dat getal kent:
$$\mathrm{e}=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}
$$Dus voor jouw functie geldt $f(0)=\mathrm{e}-1$, en
$$f(1) = \sum_{k=1}^\infty\frac{k}{k!}=\sum_{k=1}^\infty\frac1{(k-1)!}=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}
=\mathrm{e}
$$In het algemeen kun je $f(n+1)$ in de eerdere waarden uitdrukken: via $k^{n+1}/k!=k^n/(k-1)!$ kom je op
$$f(n+1)=\sum_{k=1}^\infty\frac{k^n}{(k-1)!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(k+1)^n}{k!}
$$Gebruik nu de binomiaalformule
$$(k+1)^n=\sum_{l=0}^n\binom{n}{l}k^l
$$Dan komt er
$$\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^n\binom{n}{l}\frac{k^l}{k!}
$$en daar maak je van
$$\sum_{l=0}^n\binom{n}{l}\cdot\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{k^l}{k!}\right)
$$Even opletten: bij $l=0$ loopt $k$ echt van $0$ tot $\infty$; als $l>0$ dan is $\frac{0^l}{0!}$ gelijk aan $0$, en loopt $k$ eigenlijk van $1$ tot $\infty$.
Wat je uiteindelijk krijgt is dan:
$$f(n+1)=\mathrm{e} + \sum_{l=1}^n\binom{n}{l}f(l)
$$Hieruit volgt dat elke waarde van $f$ een veelvoud van $\mathrm{e}$ is.

Er geldt $f(n)=B(n)\cdot \mathrm{e}$, waarbij $B(n)$ het $n$-de Bell-getal is. De link verwijst naar een heleboel informatie over die rij (maar geeft geen mooie expliciete formule).

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Goniometrie
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	18-5-2024